چگونه گودل اثبات آثار

او در قضایای ناتمامیت نابود جستجو برای یک نظریه ریاضی همه چیز. نزدیک به یک قرن بعد ما هنوز برای مقابله با عواقب.

در سال 1931 اتریش منطق دان کورت گودل کشیده مسلما یکی از خیره کننده ترین دستاوردهای فکری در تاریخ است.

ریاضیدانان عصر به دنبال یک پایه محکم برای ریاضی: مجموعه ای از پایه ریاضی و حقایق یا بدیهیات بود که هر دو سازگار—هرگز منجر به تناقضات و کامل در خدمت به عنوان بلوک های ساختمان از تمام حقایق ریاضی.

اما گودل تکان دهنده قضایای ناتمامیت منتشر شده زمانی که او فقط 25 خرد که رویای. او ثابت کرد که هر مجموعه ای از بدیهیات شما می توانید فرض به عنوان یک پایه ممکن است برای ریاضی ناچار خواهد بود ناقص; همیشه وجود خواهد داشت حقایق واقعی در مورد اعداد است که نمی توان ثابت کرد کسانی که از بدیهیات. او همچنین نشان داد که هیچ نامزد مجموعه ای از بدیهیات می تواند همیشه ثابت خود را قوام.

او در قضایای ناتمامیت به معنای وجود دارد می تواند هیچ تئوری ریاضی را از همه چیز, هیچ, وحدت از آنچه قابل اثبات است و چه چیزی درست است. چه ریاضیدانان می تواند ثابت کند بستگی به خود شروع مفروضات هر کاری اساسی زمین حقیقت که از آن همه پاسخ بهار.

در سال 89 پس از گودل را کشف ریاضیدانان را تصادفا فقط این نوع از سوالات بی جواب خود را در قضایای پیشگویی. برای مثال گودل خود را کمک به ایجاد که فرضیه زنجیره که مربوط به اندازه بی نهایت است undecidable به عنوان متوقف مشکل است که می پرسد که آیا یک برنامه کامپیوتری تغذیه با تصادفی ورودی اجرا خواهد شد برای همیشه لطفا برای و یا در نهایت متوقف شد. Undecidable سوالات حتی بوجود آمده در فیزیک نشان می دهد که Gödelian ناتمامیت رنجور نه فقط ریاضی, اما در برخی از بد درک راه—واقعیت.

در اینجا ساده غیر رسمی مختصر و مفید از نحوه گودل اثبات قضایای خود را.

گودل شماره

گودل اصلی مانور بود به نقشه اظهارات در مورد یک سیستم از بدیهیات بر روی اظهارات در این سیستم که بر روی اظهارات در مورد اعداد. این نقشه اجازه می دهد تا یک سیستم از بدیهیات به بحث cogently در مورد خود.

اولین گام در این فرایند است که به نقشه احتمالی ریاضی بیانیه و یا مجموعه ای از, اظهارات, به یک شماره منحصر به فرد به نام گودل شماره.

کمی تغییر نسخه گودل طرح ارائه شده توسط ارنست ناگل و جیمز نیومن در سال 1958 کتاب گودل اثباتآغاز می شود با 12 ابتدایی نمادهایی است که در خدمت به عنوان واژگان برای بیان مجموعه ای از بدیهیات اولیه. برای مثال در این بیانیه که چیزی وجود دارد می توان بیان شده توسط نماد ∃ در حالی که علاوه بر بیان شده است +. از همه مهمتر نماد sدلالت “جانشین” می دهد یک راه مشخص کردن اعداد; ss0برای مثال اشاره به 2.

این دوازده نمادها پس از آن اختصاص داده گودل اعداد 1 تا 12.

table of symbols coinciding with numbers coinciding with words
تصویر: کوانتوم کارکنان

بعد نامه را به نمایندگی از متغیرهای شروع با x, yو zنقشه بر روی اعداد بزرگتر از 12 (که, 13, 17, 19, …).

سپس هر ترکیبی از این نمادها و متغیر است که در هر فرمول ریاضی و یا دنباله ای از فرمول است که می تواند ساخته شود—می شود آن را گودل شماره.

برای مثال در نظر بگیرید 0 = 0. فرمول سه نمادهای مربوط به گودل شماره 6, 5 و 6. گودل نیاز به تغییر این سه شماره توالی به یک شماره منحصر به فرد—یک شماره است که هیچ دنباله ای از نمادهای تولید خواهد شد. برای انجام این کار, او طول می کشد سه اعداد اول (2, 3 و 5) افزایش هر یک به گودل تعداد نماد در همان موقعیت در دنباله و تکثیر آنها را با هم. نتیجه 0 = 0 می شود 26 × 3 و5 × 5و 6و یا 243,000,000.

این نقشه کار می کند زیرا هیچ دو فرمول همیشه به پایان خواهد رسید تا با همان گودل شماره. گودل اعداد صحیح و اعداد صحیح تنها عامل به اعداد اول در یک راه است. بنابراین تنها نخست فاکتور از 243,000,000 26 × 3 و5 × 5و 6به معنی وجود دارد تنها یک راه ممکن برای رمزگشایی گودل شماره: فرمول 0 = 0.

گودل در آن رفت و یک گام بیشتر است. اثبات ریاضی شامل یک توالی از فرمول. بنابراین گودل به هر دنباله ای از فرمول های منحصر به فرد گودل تعداد بیش از حد. در این مورد او شروع می شود با لیستی از اعداد اول به عنوان قبل از—2, 3, 5, و غیره. او سپس افزایش هر نخست به گودل شماره فرمول در همان موقعیت در دنباله (2243,000,000 × … اگر 0 = 0 می آید به عنوان مثال) و تکثیر همه چیز را با هم.

Arithmetizing Metamathematics

این مزیت واقعی است که حتی اظهارات در مورد فرمول های ریاضی به نام metamathematical اظهارات می تواند خود را ترجمه شده گودل فرمول با اعداد خود را.

در نظر اول فرمول ∼(0 = 0) به معنی “صفر نیست برابر با صفر است.” این فرمول است که به وضوح نادرست است. با این وجود این گودل تعداد: 2 مطرح شده به قدرت 1 (گودل تعداد نماد ∼) ضرب 3 مطرح شده به قدرت 8 (گودل شماره از “پرانتز باز” نماد) و بازده 21 × 38 × 56 × 7^5 ^× 116 × 139.

از آنجا که ما می تواند تولید گودل اعداد برای همه فرمول ها حتی غلط آنهایی که ما می توانیم بحث منطقی در مورد این فرمول با صحبت کردن در مورد خود گودل اعداد.

در نظر گرفتن بیانیه “اولین نماد فرمول 86986692~(0 = 0) توسط یک ریشه یابی لغات.” این (درست) metamathematical بیانیه ای در مورد ∼(0 = 0) ترجمه را به یک بیانیه در مورد فرمول گودل شماره—یعنی که اول آن توان است 1 گودل شماره برای ریشه یابی لغات. به عبارت دیگر ما بیانیه می گوید که 21 × 38 × 5^6v × 7^5v × 116 × 139 تنها یک عامل از 2. تا به حال ∼(0 = 0) شروع با هر نماد دیگر از یک ریشه یابی لغات آن گودل تعداد را حداقل دو عامل از 2. بنابراین دقیق تر 2 توسط یک عامل از 21 × 38 × 56 × 7^5v × 116 × 139اما 22 یک عامل نیست.

ما می تواند تبدیل به آخرین جمله را دقیق ریاضی فرمول است که ما می توانید بنویسید* با استفاده از ابتدایی نمادها. (اسکرول به پایان داستان به آن را ببینید.) این فرمول البته دارای یک عدد گودل که ما می تواند در محاسبه نقشه برداری کاراکتر خود را بر روی قدرت از اعداد اول.

این مثال Nagel و نیومن نوشت: “یک نمونه بسیار کلی و بینش عمیق نهفته است که در قلب گودل را کشف: تایپی خواص زنجیره طولانی از نمادها را می توان در مورد صحبت در غیر مستقیم بلکه کاملا دقیق شیوه به جای صحبت کردن در مورد خواص نخست factorizations از اعداد صحیح است.”

تبدیل به نمادهای همچنین ممکن است برای metamathematical بیانیه “وجود دارد و برخی از دنباله ای از فرمول ها را با عدد گودل x ثابت می کند که این فرمول با گودل شماره k و یا در “فرمول با گودل شماره k می توان ثابت کرد.” توانایی “arithmetize” این نوع از بیانیه تنظیم صحنه برای کودتا.

G خود را

گودل اضافی بینش بود که او می تواند جایگزین یک فرمول خود گودل عدد در فرمول خود به خود منجر به هیچ پایان از مشکل.

برای دیدن جایگزینی چگونه کار می کند, در نظر گرفتن فرمول (∃x)(x = sy). (آن آمده است: “وجود برخی از متغیر x که جانشین y” و یا در “y دارای یک جانشین.”) مانند تمام فرمول آن را به یک عدد گودل—برخی از عدد صحیح بزرگ ما فقط تماس m.

در حال حاضر اجازه دهید به شما معرفی m به فرمول در محل نماد y. این اشکال جدید فرمول (∃x)(x = sm) به معنی “m دارای یک جانشین.” آنچه که باید ما به این فرمول گودل شماره? وجود دارد سه قطعه از اطلاعات برای انتقال: ما آغاز شده با این فرمول که گودل شماره m. در آن ما جایگزین m برای نماد y. و با توجه به نقشه طرح معرفی این نماد y دارای گودل شماره 17. بنابراین اجازه دهید تعیین فرمول جدید را گودل شماره زیر(m, m, 17).

جایگزینی فرم چلیپا گودل اثبات.

او در نظر گرفته metamathematical بیانیه در امتداد خطوط از “فرمول با گودل شماره زیر(y, y, 17) نمی توان ثابت کرد.” یادآوری نماد ما فقط یاد گرفته فرمول با گودل شماره زیر(y, y, 17) است به دست آمده با در نظر گرفتن فرمول با عدد گودل y (برخی از ناشناخته متغیر) و جایگزین کردن این متغیر y در هر نقطه وجود دارد یک نماد که گودل شماره 17 (که در هر نقطه وجود دارد y).

همه چیز trippy اما با این وجود ما metamathematical بیانیه—”فرمول با گودل شماره زیر(y, y, 17)) را نمی توان ثابت کرد”—این است که مطمئن شوید که برای ترجمه به یک فرمول منحصر به فرد با عدد گودل. اجازه دهید آن را به n.

در حال حاضر یکی از آخرین دور از جایگزینی: گودل ایجاد یک فرمول جدید با جایگزین کردن شماره n در هر نقطه وجود دارد y در فرمول قبلی. او فرمول جدید آمده است: “فرمول با گودل تعداد sub(n, n, 17) نمی توان ثابت کرد.” اجازه دهید این فرمول جدید G.

به طور طبیعی G دارای یک عدد گودل. چه چیزی ارزش آن را ؟ حقیقت و حفظ آن باید sub(n, n, 17). تعریف sub(n, n, 17) است گودل تعدادی از این فرمول است که از نتایج مصرف این فرمول با گودل تعداد n و جایگزین n در هر نقطه وجود دارد یک نماد با گودل شماره 17. و G دقیقا این فرمول! به دلیل منحصر به فرد از نخست فاکتور ما در حال حاضر می بینیم که فرمول G است که صحبت کردن در مورد هیچ یک دیگر از G خود را.

G ادعا میکند از خود است که نمی توان آن را ثابت کرد.

اما می توانید G ثابت شود? این به آن معنا وجود دارد برخی از دنباله ای از فرمول ها ثابت می کند که این فرمول با گودل تعداد sub(n, n, 17). اما در مقابل از G که می گوید هیچ مدرکی وجود دارد. در مقابل اظهارات G و ~G, نمی توانید هر دو درست باشد سازگار سیستم برهان. بنابراین حقیقت G باید undecidable.

اگر چه گرم است undecidable آن را به وضوح درست است. G می گوید: “این فرمول با گودل تعداد sub(n, n, 17) نمی توان ثابت کرد” و این دقیقا کاری است که ما پیدا کرده ام به صورت! پس از گرم درست است و در عین حال undecidable در برهان سیستم مورد استفاده برای ساخت آن است که سیستم ناقص است.

شما ممکن است فکر می کنم شما فقط می تواند فرض اضافی اصل استفاده از آن برای اثبات G و حل تناقض است. اما شما نمی توانید. گودل نشان داد که تقویت برهان سیستم اجازه خواهد داد که ساخت و ساز جدید درست فرمول Gʹ (با توجه به مشابه طرح مانند قبل) است که نمی توان ثابت کرد در جدید تقویت سیستم. در تلاش برای کامل ریاضی, سیستم, شما هرگز نمی توانید گرفتن دم خود را.

هیچ اثبات قوام

ما یاد گرفته ایم که اگر یک مجموعه ای از بدیهیات است که مطابق آن ناقص است. که گودل اول قضیه ناتمامیت. دوم—که هیچ مجموعه ای از بدیهیات می تواند ثابت کند خود را قوام—به راحتی به شرح زیر است.

چه آن را به معنی اگر یک مجموعه ای از بدیهیات می تواند آن را اثبات کند هرگز عملکرد یک تناقض ؟ این امر به این معنی است که وجود دارد و با دنباله ای از فرمول های ساخته شده از این بدیهیات که ثابت می کند این فرمول که به معنی metamathematically “این مجموعه ای از بدیهیات سازگار است.” اولین قضیه این مجموعه ای از بدیهیات پس از آن لزوما ناقص است.

اما “مجموعه ای از بدیهیات ناقص است” همان است که گفته است: “یک فرمول درست است که نمی توان ثابت کرد.” در این بیانیه معادل فرمول ما G. و ما می دانیم که این بدیهیات را نمی تواند ثابت کند G.

بنابراین گودل ایجاد کرده اثبات توسط تضاد: اگر مجموعه ای از بدیهیات می تواند اثبات خود قوام پس از آن ما خواهد بود قادر به اثبات G. اما ما نمی توانیم. هیچ مجموعه ای از بدیهیات می تواند ثابت کند خود را قوام.

گودل اثبات کشته جستجو برای سازگار کامل ریاضی سیستم. معنای ناتمامیت “شده است به طور کامل fathomed,” Nagel و نیومن نوشت: در سال 1958. آن باقی مانده است.


*برای کنجکاو در این بیانیه آمده است: “وجود برخی عدد صحیح x که x در 2 ضرب برابر است با 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139, و در آنجا وجود ندارد هر عدد صحیح x که x ضرب در 4 برابر است با 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139.” فرمول مربوطه است:

(∃x)(x × ss0 = ssssss0) ⋅ ~(∃x)(x × ssss0 = ssssss0)

که در آن ssssss0 مخفف 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139 نسخه از جانشین نماد s. نماد ⋅ به معنای “و” است و مختصر برای یک دیگر بیان اساسی واژگان: pq مخفف (p ∨ ~q).

داستان اصلی تجدید چاپ با اجازه از کوانتوم, مجله, یک سرمقاله مستقل انتشار سایمونز بنیاد که ماموریت است که برای افزایش درک عمومی از علم توسط پوشش تحقیقات تحولات و روند ریاضیات و علوم فیزیکی و زندگی.


بزرگ تر سیمی داستان
  • چگونه ماسک های رفت و از همین حالا-پوشیدن به باید
  • 13 کانال یوتیوب ما گیک بیش از
  • تکنولوژی مواجه آن با استفاده از برچسب “استاد” و “برده”
  • پوکر و روانشناسی از عدم قطعیت
  • با نگه داشتن coronas—و یا چرا این ویروس برنده
  • 👁 درمانگر است—و آن را یک chatbot برنامه. به علاوه: دریافت آخرین اخبار AI
  • 💻 ارتقاء کار خود را با بازی ما دنده تیم های مورد علاقه, لپ تاپ, کیبورد تایپ جایگزین و سر و صدا لغو هدفون

tinyurlis.gdv.gdv.htclck.ruulvis.netshrtco.detny.im

Leave a reply

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>