در مستند ریاضیدانان کرک خیره هندسه معما

مستطیل شکل میخ مشکل می پرسد یک سوال به ظاهر ساده: آیا یک حلقه بسته شامل گوشه و کنار از هر نوع مستطیل ؟

در اواسط ماه مارس, ریاضیدانان جاشوا گرین و اندرو Lobb در بر داشت خود را در همان وضعیت: قفل کردن و تلاش برای تنظیم در حالی که Covid-19 pandemic رشد خارج از درب. آنها تصمیم به مقابله با پرتاب خود به تحقیقات خود را.

“من فکر می کنم همه گیر بود واقعا نوع گالوانیزه می گوید:” گرین استاد در کالج بوستون. “ما هر تصمیم گرفت این امر می تواند بهترین به تکیه به برخی از همکاری به ما را حفظ کند.”

یکی از مشکلات این دو نگاه بود که یک نسخه از قرن قدیمی حل نشده سوال در هندسه.

“مشکل این است که بسیار آسان برای دولت و بسیار آسان به درک اما آن را واقعا سخت می گوید:” الیزابت Denne واشنگتن و لی دانشگاه.

این شروع می شود با یک حلقه بسته—هر نوع انحنا مسیر که به پایان می رسد که در آن شروع می شود. مشکل گرین و Lobb در کار پیش بینی اساسا که هر مسیر شامل مجموعه ای از چهار نقطه که به صورت رئوس مستطیل از هر نظر نسبت.

در حالی که این “مستطیل میخکوب کردن محکم کردن مشکل” به نظر می رسد مانند نوع سوال دبیرستان هندسه دانشجویی حل و فصل ممکن است با یک خط کش و پرگار آن مقاومت ریاضیدانان’ بهترین تلاش برای چندین دهه است. و زمانی که گرین و Lobb مجموعه ای را برای مقابله با آن, آنها ندارد, هر دلیلی برای انتظار آنها می خواهم کرایه بهتر است.

از تمام پروژه های مختلف او در گرین می گوید: “من فکر می کردم این بود که احتمالا حداقل امیدوار کننده است.”

اما به همه گیر رسید گرین و Lobb که در دانشگاه دورهام در انگلستان و اوکیناوا موسسه علم و فن آوری, هفته برگزار زوم تماس بود و جانشینی سریع از بینش. سپس در مارس 19, به عنوان نقاط جهان بودند شروع به بازگشایی آنها پدید آمده در راه خود را و ارسال شده یک راه حل است.

نهایی خود را اثبات نشان می دهد که پیش بینی مستطیل انجام دهید در واقع وجود داشته باشد—حمل و نقل مشکل به طور هندسی تنظیم. وجود دارد لجبازی سوال بازده به راحتی.

“این نوع از عجیب و غریب می گوید:” ریچارد شوارتز از دانشگاه براون. “این فقط ایده مناسب برای این مشکل است.”

بازاندیشی مستطیل

مستطیل شکل میخ مشکل است که یک شاخه از یک سوال مطرح شده توسط ریاضیدان آلمانی اتو Toeplitz در سال 1911. او پیش بینی کرد که هر منحنی بسته شامل چهار امتیاز است که می تواند متصل شود به شکل یک مربع است. خود را “square peg مشکل” حل نشده باقی مانده است.

“این یک خاردار مشکل است که هیچ کس قادر بوده است به کرک” گرین می گوید.

به درک که چرا این مشکل بسیار سخت است, این مهم است به دانستن چیزی در مورد انواع منحنی مربع میخکوب کردن محکم کردن مشکل مذاکرات در مورد آن مسائل برای گرین و Lobb را اثبات بیش از حد.

این جفت ارز در حل یک مشکل در مورد بسته منحنی هستند که هر دو پیوسته و صاف است. پیوسته به معنی آنها می شکند. صاف و معنی آنها نیز از گوشه و کنار. صاف و پیوسته منحنی هستند آنهایی که شما می خواهم به احتمال زیاد قرعه کشی اگر شما نشستم با مداد و کاغذ. آنها “آسان تر برای گرفتن دست خود را در” گرین می گوید.

صاف و پیوسته منحنی کنتراست با منحنی که صرفا پیوسته اما نه صاف—نوع منحنی است که ویژگی های در Toeplitz را میخ مربع حدس. این نوع منحنی می توانید گوشه—مکان های که در آن آنها veer ناگهان در جهات مختلف. یک مثال برجسته از یک منحنی با بسیاری از گوشه است فراکتال برفدانه کخ که در واقعیت ساخته شده است هیچ چیز اما گوشه. برفدانه کخ و دیگر منحنی مانند آن را نمی توان تجزیه و تحلیل با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال و روش های مربوط به این واقعیت است که آنها را به خصوص سخت به مطالعه است.

“برخی مستمر [non-smooth] منحنی واقعا تند و زننده” Denne می گوید.

اما دوباره مشکل گرین و Lobb حل شد شامل منحنی که صاف هستند و در نتیجه پیوسته است. و به جای تعیین اینکه آیا چنین منحنی همیشه باید چهار امتیاز است که یک مربع—یک سوال که حل شد برای صاف و پیوسته منحنی در سال 1929—آنها مورد بررسی قرار گرفته که آیا چنین منحنی همیشه مجموعه ای از چهار نقطه که به صورت مستطیل از همه “نسبت” به معنی نسبت خود را به سمت طول. به صورت یک مربع نسبت 1:1 در حالی که برای بسیاری از با کیفیت بالا تلویزیون آن 16:9 است.

multiple squares and rectangles
تصویر: Samuel ولاسکو/مجله کوانتوم

عمده پیشرفت در مستطیل میخکوب کردن محکم کردن مشکل ساخته شده بود در اثبات از اواخر دهه 1970 توسط هربرت Vaughan. اثبات آغاز یک راه جدید فکر کردن در مورد هندسه مستطیل و ایجاد روش هایی که بسیاری از ریاضیدانان از جمله گرین و Lobb, بعد برداشت.

“همه می دانند این اثبات” گرین می گوید. “این نوع از فرهنگ عامه و مرتب کردن بر اساس چیزی که شما یاد بگیرند که بیش از یک ناهار, میز و بحث در اطراف اتاق مشترک.”

به جای فکر کردن از یک مستطیل به عنوان چهار متصل نقاط Vaughan فکر آن را به عنوان دو جفت از نقاط است که باید یک رابطه خاص با یکدیگر است.

infographic showing diagonal lines crossing in a rectangle
تصویر: Samuel ولاسکو/مجله کوانتوم

تصویر یک مستطیل که راس برچسب ABCD در جهت عقربه های ساعت از سمت چپ بالا. در این مستطیل فاصله بین جفت از نقاط AC (همراه قطر مستطیل) همان است که فاصله بین جفت از نقاط BD (همراه دیگر مورب). دو بخش خط نیز تقاطع در midpoints کنند.

بنابراین اگر شما به دنبال مستطیل در یک حلقه بسته یک راه برای پیگیری آنها این است که به دنبال جفت از نقاط بر روی آن که به اشتراک گذاری این ملک: آنها به صورت برابر طول پاره خط را با همان نقطه میانی. و برای پیدا کردن آنها مهم است به آمده تا با یک روش سیستماتیک از فکر کردن در مورد آنها.

این 3blue1brown تصویری نشان می دهد که چگونه به فکر می کنم هندسی مورد مستطیل میخکوب کردن محکم کردن مشکل است.

برای به دست آوردن یک حس از آنچه که بیایید شروع با چیزی ساده تر است. استاندارد شماره خط. انتخاب دو نقطه بر روی آن—می گویند اعداد 7 و 8—و طرح آنها را به عنوان یک نقطه در xy plane (7 و 8). جفت از همان نقطه بیش از حد مجاز (7, 7). در حال حاضر در نظر گرفتن همه ممکن است جفت از اعداد است که می تواند استخراج شده از شماره خط (خیلی!). اگر شما بودند به رسم همه کسانی که جفت از نقاط شما می خواهم را پر کنید در کل دو بعدی xy plane. راه دیگر حاکی از این است که می گویند که xy plane “parameterizes” و یا جمع آوری منظم راه همه جفت از نقاط در خط شماره.

Vaughan چیزی مشابه برای جفت از نقاط در یک منحنی بسته. (مانند شماره خط آن را یک بعدی و تنها از آن نیز منحنی در خود دارد.) او متوجه شد که اگر شما را جفت نقطه از منحنی و طرح آنها—بدون هیچ گونه نگرانی در مورد که در نقطه x هماهنگ و که یکی از y—شما نمی توانید تخت xy plane. در عوض, شما تعجب آور شکل: یک نوار موبیوس است که در یک سطح دو بعدی است که فقط یک طرف.

infographic showing the making of a Mobius Strip

در راه این را حس می کند. به همین دلیل انتخاب یک جفت از نقاط روی منحنی و برچسب آنها را x و y. در حال حاضر سفر از x به y در امتداد یک کمان منحنی در حالی که سفر از y به x به همراه مکمل قوس منحنی. به شما به عنوان انجام این کار شما حرکت را از طریق تمام جفت از نقاط روی منحنی آغاز و با پایان دادن به نامرتب جفت (x, y). اما به شما به عنوان انجام این کار, شما بازگشت به جایی که شما آغاز شده و تنها خود را با گرایش بدبختانه. این گرایش-کوه در می رم حلقه نامرتب امتیاز فرم اصلی یک نوار موبیوس.

این نوار موبیوس را فراهم می کند ریاضیدانان با یک شی جدید به تجزیه و تحلیل به منظور حل مستطیل میخکوب کردن محکم کردن مشکل است. و Vaughan استفاده می شود که واقعیت ثابت کند که هر جمله منحنی شامل حداقل چهار امتیاز است که به شکل یک مستطیل است.

چهار بعدی پاسخ

گرین و Lobb را اثبات ساخته شده بر روی وان کار. اما آن را نیز در ترکیب چندین اضافی نتایج که برخی از آنها تنها در دسترس بسیار به تازگی. نهایی اثبات است مانند دقت ابزار است که فقط ترکیب مناسب از ایده به تولید نتیجه آنها می خواستند.

یکی از بزرگ مواد تشکیل دهنده خود را به اثبات به نظر می رسد در ماه نوامبر سال 2019 زمانی که یک پرینستون فارغ التحصیل و دانشجو به نام کول Hugelmeyer ارسال شده در یک مقاله که به معرفی یک راه جدید برای تجزیه و تحلیل Vaughan را نوار موبیوس. این کار درگیر یک فرایند ریاضی به نام, تعبیه, است که در آن شما را به یک شی و پیوند آن به یک فضای هندسی. گرین و Lobb در نهایت می Hugelmeyer تکنیک و حرکت آن را به دیگری هندسی فضا. اما برای دیدن آنچه که آنها را برای بار اول شما نیاز به دانستن آنچه که او انجام داد.

در اینجا یک مثال ساده از چه تعبیه شده است:

  • شروع با یک خط بعدی. هر نقطه روی خط تعریف شده توسط یک عدد. در حال حاضر “قراردادن” که خط در فضای دو بعدی—است که می گویند فقط نمودار آن را در هواپیما.

  • هنگامی که شما با قراردادن خط در xy plane هر نقطه بر روی آن می شود تعریف شده توسط دو عدد—the x و y مختصات است که دقیقا مشخص کنید که در هواپیما که نقطه نهفته است. با توجه به این, راه اندازی, شما می توانید شروع به تجزیه و تحلیل خط با استفاده از تکنیک های دو بعدی و هندسه.

Hugelmeyer ایده بود برای انجام کاری مشابه برای نوار موبیوس اما برای قراردادن آن در فضای چهار بعدی به جای که در آن او می تواند با استفاده از ویژگی های هندسه چهار بعدی برای اثبات نتایج او می خواست در مورد مستطیل.

“شما شما رو در نوار موبیوس و برای هر نقطه در آن شما در حال رفتن به آن را چهار مختصات. شما به هر نقطه یک نوع آدرس در فضای چهار بعدی می گوید:” Lobb.

Hugelmeyer ایجاد این آدرس ها در یک راه است که به نوبه خود می تواند به خصوص مفید برای هدف کلی از پیدا کردن مستطیل بر روی یک منحنی. همانطور که با یک آدرس پستی شما می توانید از فکر می کنم او اختصاص هر نقطه بر روی منحنی یک کشور و یک شهر یک خیابان به نام یک خیابان شماره.

برای انجام این کار, او با یک نقطه داده شده در نوار موبیوس و نگاه دو نقطه در اصل منحنی بسته آن نشان داده شده است. سپس او یافت می شود از نقطه میانی است که جفت از نقاط و تعیین آن x و y مختصات. کسانی بودند که برای اولین بار دو ارزش در چهار بعدی آدرس (فکر می کنم از آنها به عنوان دولت و شهرستان).

بعد او اندازه گیری خط مستقیم فاصله بین دو اصلی نقاط روی منحنی. که ظهر شد سوم ارزش در چهار بعدی آدرس (فکر می کنم از این به عنوان نام خیابان). در نهایت او محاسبه زاویه تشکیل شده که در آن از طریق یک خط اصلی دو امتیاز در دیدار x axis. که زاویه چهارم شد ارزش چهار بعدی آدرس (فکر می کنم از این به عنوان خیابان شماره). این چهار ارزش به طور موثر به شما بگویم همه چیز در مورد جفت از نقاط در منحنی.

infographic picturing curves on graphs
تصویر: Samuel ولاسکو/مجله کوانتوم

ورزش ممکن است پیچیده به نظر می رسد اما آن را سریع پرداخت سود سهام برای Hugelmeyer. او در زمان تعبیه شده در نوار موبیوس و چرخش آن را راه شما می توانید تصور کنید که برگزاری یک بلوک در مقابل شما و چرخاندن آن را کمی به سمت چپ. این چرخش نوار موبیوس بود افست از نسخه اصلی به طوری که دو نسخه تلاقی هر یک از دیگر. (به دلیل چرخش می گیرد در فضای چهار بعدی دقیق راه دو نسخه از نوار موبیوس با هم تداخل سخت است به تجسم اما ریاضی آسان برای دسترسی به.)

این تقاطع حیاتی بود. هر جا که دو نسخه از نوار موبیوس همپوشانی شما را در پیدا کردن دو جفت از نقاط پشت در اصلی بسته منحنی تشکیل شده است که چهار راس یک مستطیل.

چرا ؟

به یاد داشته باشید که یک مستطیل می توان به عنوان دو جفت از نقاط است که به اشتراک گذاشتن یک نقطه میانی و در فاصله مساوی از هم جدا. این دقیقا همان اطلاعات کد گذاری شده در سه ارزش های چهار بعدی آدرس اختصاص داده شده به هر نقطه بر روی تعبیه شده در نوار موبیوس.

دوم, آن را ممکن است به چرخش نوار موبیوس در فضای چهار بعدی به طوری که شما فقط با تغییر یکی از مختصات در هر نقطه چهار مختصات آدرس—مانند تغییر اعداد خیابانی از همه خانه ها در یک بلوک اما ترک, خیابان نام, شهر و دولت بدون تغییر. (برای بیشتر هندسی مثال فکر می کنم در مورد چگونگی برگزاری یک بلوک در مقابل شما و انتقال آن به سمت راست تنها تغییرات آن x هماهنگ نیست y و z مختصات.)

infographic of overlapping Mobius strips
تصویر: Samuel ولاسکو/مجله کوانتوم

Hugelmeyer توضیح داد که چگونه به چرخش نوار موبیوس در فضای چهار بعدی به طوری که دو مختصات را پشتیبانی می کند این نقطه میانی بین جفت از نقاط باقی مانده آیا به عنوان هماهنگ رمزگذاری فاصله بین جفت از نقاط. چرخش تنها تغییر آخرین هماهنگی—یکی از رمزگذاری اطلاعات در مورد زاویه خط بخش بین جفت از نقاط.

به عنوان یک نتیجه, تقاطع بین چرخش کپی از نوار موبیوس و اصلی مطابقت دقیقا به دو متمایز جفت از نقاط بازگشت در منحنی بسته که تا به حال همان نقطه میانی بودند و همان فاصله از هم جدا. است که می گویند, تقاطع نقطه مکاتبه دقیقا به چهار راس یک مستطیل بر روی منحنی.

این استراتژی با استفاده از یک تقاطع بین دو فضا برای پیدا کردن نقاط شما به دنبال برای مدت طولانی است که مورد استفاده در کار بر روی مربع و مستطیل میخکوب کردن محکم کردن مشکلات.

“که در آن کسانی که [فاصله] تقاطع است که در آن شما باید چیزی که شما دنبال آن هستید می گوید:” Denne. “همه از این مدارک در تاریخ square peg مشکل بسیاری از آنها که ایده.”

Hugelmeyer استفاده تقاطع استراتژی در یک چهار بعدی تنظیم کردم و بیشتر از آن را بیش از هر کس قبل از او. این نوار موبیوس را می توان چرخش در هر زاویه بین 0 و 360 درجه و او ثابت کرد که یک سوم از کسانی که چرخش عملکرد تقاطع بین اصلی و چرخش کپی کنید. این حقیقت معلوم می شود معادل و گفت که در یک منحنی بسته شما می توانید پیدا کردن مستطیل با یک سوم از همه ممکن است نسبت ابعاد.

“اعتبار به کول برای تحقق است که شما باید به فکر می کنم در مورد قرار دادن نوار موبیوس در فضای چهار بعدی و چهار بعدی تکنیک های در اختیار خود می گوید:” گرین.

در همان زمان Hugelmeyer را نتیجه تحریک آمیز: اگر فضای چهار بعدی یک راه مفید برای حمله مشکل, چرا که آن را تنها می تواند مفید باشد برای یک سوم از تمام مستطیل?

“شما باید قادر به دریافت دو سوم دیگر, برای, خوبی, خاطر,” گرین می گوید. “اما چگونه؟”

نگه داشتن آن Symplectic

حتی قبل از آنها قفل شده بودند را توسط همه گیر گرین و Lobb علاقه مند شده بود در مستطیل میخکوب کردن محکم کردن مشکل است. در ماه فوریه Lobb میزبانی یک کنفرانس در اوکیناوا موسسه علوم و فن آوری است که گرین حضور داشتند. دو صرف یک زن و شوهر از روز صحبت کردن در مورد این مشکل. پس از آن آنها در ادامه مکالمه خود را در طول یک هفته از گشت و گذار در توکیو.

“ما متوقف نمی صحبت کردن در مورد مشکل” Lobb می گوید. “ما از رفتن به رستوران ها و کافه ها و موزه ها و در هر حال حاضر و دوباره ما می خواهم به فکر در مورد این مشکل است.”

آنها در ادامه مکالمه خود را حتی پس از آنها محدود به خانه های مربوطه. امید خود را به اثبات که ممکن است هر چرخش نوار موبیوس به همراه داشت یک تقاطع نقطه است که معادل آن به اثبات شما می توانید پیدا کردن مستطیل با همه ممکن است نسبت ابعاد.

در اواسط ماه مارس آنها آمد تا با یک استراتژی است. درگیر آن تعبیه نوار در یک نسخه ویژه از فضای چهار بعدی. با معمولی تعبیه شما می توانید محل تعبیه شده در جسم هر راه شما می خواهید. فکر می کنم در مورد تعبیه یک بعدی حلقه بسته در هواپیما دو بعدی. تعدادی از راه های شما می توانید آن را به عنوان بی حد و حصر به عنوان تعدادی از راه های شما می توانید یک حلقه از رشته ها در یک جدول.

اما فرض کنید که سطح دو بعدی است که شما در حال رفتن به قراردادن حلقه برخی از ساختار آن است. فکر می کنم به عنوان مثال در مورد یک نقشه لایه با فلش (به نام بردار) نشان دادن که در آن جهت و در چه سرعت باد در هر نقطه بر روی زمین. در حال حاضر شما باید یک سطح دو بعدی با اطلاعات اضافی و یا ساختار را در هر نقطه.

شما پس از آن می تواند اعمال محدودیت که یک بعدی حلقه بسته نیاز به تعبیه شده در این نقشه به طوری که آن را همیشه زیر جهت فلش که در آن تعبیه شده است.

“شما محدودیت این است که شما در حال تلاش برای قرار دادن یک منحنی است که در زیر آن بردار” شوارتز می گوید. در حال حاضر وجود دارد به مراتب کمتر راه به جایی است که حلقه از رشته است.

تصویر: Samuel ولاسکو/مجله کوانتوم

انواع دیگر فضاهای هندسی آن را ممکن است به فکر می کنم در مورد انواع دیگر از محدودیت است. یکی که ثابت مهم در گرین و Lobb کار است که به نام symplectic فضا.

این نوع از تنظیمات هندسی برای اولین بار در قرن 19 با مطالعه سیستم های فیزیکی مانند چرخش سیارات. به عنوان یک سیاره حرکت می کند از طریق فضای سه بعدی آن موقعیت تعریف شده توسط سه مختصات. اما ریاضیدان ایرلندی ویلیام روآن همیلتون مشاهده شده است که در هر نقطه در یک سیاره حرکت آن را نیز ممکن است به جای یک بردار به نمایندگی از این سیاره حرکت است.

در سال 1980 یک ریاضیدان به نام ولادیمیر آرنولد شفافی ریاضی مطالعه symplectic هندسه. او می دانست که فضاهای هندسی با symplectic ساختار تقاطع های خود را تحت چرخش بیشتر از فضاهای بدون چنین ساختار.

این اقدام برای گرین و Lobb که می خواستم برای حل مستطیل شکل میخ مشکل برای همه aspect ratios با اثبات این است که یک چرخش کپی از parameterizing نوار موبیوس خود را نیز قطع مقدار زیادی. به طوری که آنها شروع به تلاش برای قراردادن دو بعدی نوار موبیوس در چهار بعدی symplectic فضا.

“وجود دارد این بینش محوری به مسأله نگاه از منظر symplectic هندسه” گرین می گوید. “که فقط یک تعویض بازی.”

اواخر مارس گرین و Lobb مشخص بود که ممکن بود برای قراردادن نوار موبیوس در چهار بعدی symplectic فضایی در راه است که پژوهشگران به ساختار فضا است. که با انجام آنها می توانید شروع به استفاده از ابزار symplectic هندسه—بسیاری از آن به طور مستقیم در این سوال که چگونه فضاهای تقاطع خود را.

“اگر شما می توانید [نوار موبیوس] دنبال symplectic قوانین شما را وادار به استفاده از برخی از symplectic قضایای” Lobb می گوید.

گرین و Lobb شد اعتماد به نفس در این نقطه است که آنها می تواند به بهبود در Hugelmeyer نتیجه—معنی آنها می تواند ثابت کند که بیش از یک سوم از تمام چرخش تولید تقاطع. این به نوبه خود بدان معنی است که مستطیل با بیش از یک سوم از تمام جنبه نسبت را می توان به عنوان نقاط بر روی هر منحنی بسته.

“روشن بود چیزی که قرار بود به اتفاق می افتد هنگامی که ما تا به حال این ایده” Lobb می گوید.

اما نتیجه گسترده تر و آمد بسیار سریع تر از آنها می خواهم پیش بینی شده است. و دلیل این که تا به حال انجام با یک دمدمی ریاضی شی به نام یک بطری کلاین که تا به حال یک ویژگی مهم که در متن در نظر گرفته symplectic هندسه.

این بطری کلاین اتصال

این بطری کلاین یک سطح دو بعدی است که به نظر می رسد مانند یک مدرن پارچ آب. مانند نوار موبیوس آن تنها یک طرف و شما در واقع می توانید یک چسب با هم دو نوار موبیوس. هر بطری کلاین شما می توانید بر روی میز کار خود را به عنوان بسیاری از ریاضیدانان انجام می گذرد از طریق خود. وجود دارد هیچ راهی برای قراردادن بطری کلاین در فضای سه بعدی به طوری که آن را از وسط قطع کردن خود را.

“این بطری کلاین قرار است به یک سطح اما رسیدگی به دریافت از خارج به داخل به تصادف از طریق بطری” شوارتز می گوید.

نیست که همیشه مورد ، در فضای چهار بعدی ممکن است برای قراردادن بطری کلاین به طوری که آن را از وسط قطع کردن خود را. بعد چهارم را فراهم می کند اضافی اتاق به مانور که اجازه می دهد تا بطری کلاین برای جلوگیری از خود را. آن را شبیه به دو نفر پیاده روی نسبت به یکدیگر در یک خط بعدی نمی تواند کمک کند اما برخورد می کنند اما دو نفر به یکدیگر نزدیک در دو طبقه بعدی می توانید به راحتی منحرف از راه.

infographic showing purple shaped Klein Bottle
تصویر: Samuel ولاسکو/مجله کوانتوم

در ماه مه گرین و Lobb اتفاق افتاده است به یاد داشته باشید یک واقعیت جالب در مورد بطری کلاین: این غیر ممکن است برای قراردادن در چهار بعدی symplectic فضا به طوری که آن را از وسط قطع کردن خود را. به عبارت دیگر وجود دارد هیچ چیز مانند یک nonintersecting بطری کلاین که همچنین مطابق با قوانین ویژه ای از symplectic فضا. این واقعیت بود که کلید به اثبات است. “آن گلوله سحر و جادو” گرین می گوید.

در اینجا به همین دلیل است. گرین و Lobb در حال حاضر نشان داده است که آن را ممکن است برای قراردادن نوار موبیوس در چهار بعدی symplectic فضایی در راه است که به پیروی از قوانین از فضا. آنچه که آنها واقعا می خواستم بدونم که آیا هر چرخش نوار موبیوس تقاطع اصلی کپی کنید.

خوب دو نوار موبیوس که قطع هر یک از دیگر معادل یک بطری کلاین که intersects خود را در این نوع از فضا. و اگر شما چرخش یک نوار موبیوس به طوری که چرخش کپی نمی تقاطع کپی اصلی در اصل شما تولید بطری کلاین که نمی تقاطع خود را. اما چنین یک بطری کلاین غیر ممکن است در چهار بعدی symplectic فضا. بنابراین ممکن است هر چرخش تعبیه شده در نوار موبیوس نیز باید قطع خود را—به معنی هر بسته صاف و منحنی باید شامل مجموعه ای از چهار نقطه است که می تواند متصل به هم به شکل مستطیل از همه نسبت ابعاد.

نتیجه گیری در پایان, رسید مانند یک بهمن.

“آن را مانند راه اندازی, راه اندازی, راه اندازی و سپس چکش زمین و اثبات انجام شده است” Denne می گوید.

گرین و Lobb را اثبات یک مثال خوب از نحوه حل مشکل اغلب بستگی پیدا کردن حق نور است که در آن به آن را در نظر بگیرید. نسل ریاضیدانان موفق به دریافت یک دسته در این نسخه از مستطیل میخکوب کردن محکم کردن مشکل است زیرا آنها سعی در حل آن در بیشتر سنتی هندسی تنظیمات. هنگامی که گرین و Lobb نقل مکان کرد و آن را به symplectic جهان مشکل به راه با یک زمزمه.

“این مشکلات که اطراف پرتاب شده و در 1910s و 1920s به آنها حق ندارد به چارچوب مورد آنها فکر می کنم” گرین می گوید. “آنچه که ما در حال تحقق در حال حاضر این است که آنها واقعا مخفی در برداشت از symplectic پدیده.”


داستان اصلی تجدید چاپ با اجازه از کوانتوم, مجله, یک سرمقاله مستقل انتشار سایمونز بنیاد که ماموریت است که برای افزایش درک عمومی از علم توسط پوشش تحقیقات تحولات و روند ریاضیات و علوم فیزیکی و زندگی.


بزرگ تر سیمی داستان
  • دوست من زده شد ALS. به مبارزه با عقب او ساخته شده است یک جنبش
  • پوکر و روانشناسی از عدم قطعیت
  • كلاسيك, هکرها ساختمان بهتر Nintendo Game Boy
  • درمانگر در است—و آن را به یک برنامه chatbot
  • چگونه برای تمیز کردن لباس های قدیمی خود را رسانه های اجتماعی پست
  • 👁 مغز مفید مدل برای هوش مصنوعی ؟ به علاوه: دریافت آخرین اخبار AI
  • 🏃🏽♀️ می خواهید بهترین ابزار برای دریافت سالم است ؟ ما را بررسی کنید دنده تیم میدارد برای تناسب اندام بهترین انتقالها دنده در حال اجرا (از جمله کفش و جوراب) و بهترین هدفون

tinyurlis.gdv.gdv.htu.nuclck.ruulvis.netshrtco.detny.im