اثبات آخرین قضیه فرما در اوایل 1990s خود را اثبات شد مورد ستایش قرار داد به عنوان به یاد ماندنی گام به جلو و نه فقط برای ریاضیدانان اما برای همه بشریت است. قضیه این است که سادگی خود را—آن را فرض میکند که x n + yn = zn مثبتی کل-تعداد راه حل زمانی که n بزرگتر از 2. این ساده و در عین حال ادعا می کنند tantalized سپاه بود provers برای بیش از 350 سال از زمان ریاضیدان فرانسوی Pierre de Fermat jotted آن را در 1637 در حاشیه یک کپی از دیوفانت’ Arithmetica. فرما, معروف نوشت که او کشف کرده بود “واقعا موجود شگفت انگیزی اثبات است که این حاشیه بسیار باریک به داشته باشد.” برای قرن ها ریاضیدانان حرفه ای و تازه کار, علاقه مندان به دنبال فرما اثبات و یا هر مدرک در همه.

اثبات Wiles در نهایت با (کمک ریچارد تیلور) چیزی فرما هرگز خواب. آن پنجه قضیه به طور غیر مستقیم با استفاده از یک پل که ریاضیدانان تا به حال حدس زده باید وجود داشته باشد بین دو دور قاره پس به صحبت می کنند در جهان ریاضی. Wiles’ اثبات آخرین قضیه فرما آب پز را به احداث این پل بین فقط دو قطعه زمین در دو قاره. اثبات که پر بود از ایده های جدید تنظیم کردن یک آبشار از نتایج بیشتر در مورد دو طرف این پل.

از این منظر نیرنگ’ هیبت الهام بخش, اثبات حل شد فقط یک قطعه کوچک از یک مقدار بزرگتر پازل. اثبات خود بود “یکی از بهترین چیزها در 20 قرن ریاضیات” گفت: توبی Gee از امپریال کالج لندن است. در عین حال “آن را هنوز هم تنها یک گوشه کوچک” از این حدس زده پل شناخته شده به عنوان Langlands مکاتبات.

کامل پل را ارائه دهد ریاضیدانان امید روشن گسترده ردیف هایی از ریاضیات با عبور از مفاهیم به عقب و جلو در سراسر آن. بسیاری از مشکلات از جمله فرما و آخرین قضیه دشوار به نظر می رسد در یک طرف پل تنها برای تبدیل به راحت تر مشکلات زمانی که معطوف به طرف دیگر.

پس از Wiles آمد تا با اثبات ریاضیدانان دیگر مشتاقانه گسترده خود را از پل به کمی بزرگتر بخشهایی از این دو قاره است. اما پس از آن که یک دیوار. وجود دارد طبیعی دو بعدی جهت گسترش این پل بیشتر اما برای هر دو Taylor-Wiles روش رو چه به نظر می رسید مانند یک insuperable مانع است.

“مردم می خواست به انجام این کار برای مدت زمان طولانی” گفت: آنا Caraiani از امپریال کالج لندن است. اما “ما خیلی فکر نمی کنم ممکن بود.”

در حال حاضر دو مقاله—نمایندگی اوج تلاش های بیش از یک دوجین ریاضیدانان—غلبه بر این مانع اساسا حل مشکلات هر دو. در نهایت این یافته ها ممکن است به کمک ریاضیدانان اثبات آخرین قضیه فرما برای برخی از سیستم شماره فراتر از مثبت تعداد کل.

آنها “محوری نتایج گفت:” متی Emerton از دانشگاه شیکاگو است. “وجود دارد برخی از اساسی شماره-نظری پدیده که در حال نشان داد و ما فقط شروع به درک آنچه آنها هستند.”

سوزن در خلاء

یک طرف Langlands پل با تمرکز بر برخی از حداقل معادلات پیچیده شما می توانید بنویسید: “سیاله” معادلات که ترکیبی از متغیرهای شارحان و ضرایب مانند y = x2 + 6x + 8 یا x3 + y3 = z3. برای هزاران سال ریاضیدانان سعی کرده اند برای کشف کردن که ترکیبی از اعداد برآورده داده شده معادله سیاله. آنها با انگیزه در درجه اول چقدر ساده و طبیعی این سوال این است که اگر چه برخی از کار خود را به تازگی به حال پیش بینی نشده برنامه های کاربردی از جمله در زمینه رمزنگاری.

از زمان یونانیان باستان, ریاضیدانان که چگونه برای پیدا کردن کل-تعداد راه حل برای معادلات سیاله که فقط دو متغیر و هیچ شارحان بالاتر از 2. اما جستجو برای کل-تعداد راه حل چیزی جز ساده با معادلات که بزرگتر شارحان شروع با منحنی بیضوی. این معادلات که باید y2 در سمت چپ و ترکیبی از شرایط که بالاترین قدرت است 3 مانند x3 + 4x + 7 در سمت راست. آنها یک “انبوه سخت تر مشکل” از معادلات با کاهش شارحان هی گفت.

در سمت دیگر پل های زنده اشیاء به نام automorphic forms که شبیه به بسیار متقارن رنگهای خاص tilings. در موارد Wiles مورد بررسی کاشی کاری ممکن است چیزی در امتداد خطوط از M. C. Escher معروف tessellations از یک دیسک با ماهی و یا فرشتگان و شیاطین که کوچکتر در نزدیکی مرز. در گسترده تر Langlands جهان کاشی کاری ممکن است به جای پر کردن سه بعدی توپ دیگر یا بالاتر-فضای سه بعدی.

این دو نوع از اشیاء ریاضی را به طور کامل طعم های مختلف. در عین حال در اواسط قرن 20 ریاضیدانان شروع به کشف روابط عمیق بین آنها و اوایل دهه 1970 رابرت Langlands از موسسه مطالعات پیشرفته به حال حدس زده است که معادلات سیاله و automorphic forms بازی در یک صورت بسیار خاص.

Robert Langlands who conjectured the influential Langlands correspondence about 50 years ago giving a talk at the...
رابرت Langlands که حدس زده نفوذ Langlands مکاتبات حدود 50 سال پیش در یک سخنرانی در موسسه مطالعات پیشرفته در پرینستون نیوجرسی در سال 2016.عکس: دن Komoda/موسسه مطالعات پیشرفته

یعنی برای هر دو معادلات سیاله و automorphic forms وجود دارد یک راه طبیعی برای تولید دنباله نامتناهی از اعداد است. برای یک معادله سیاله شما می توانید تعداد دفعات مشاهده که چگونه بسیاری از راه حل های معادله در هر ساعت به سبک ریاضی سیستم (مثلا در حد معمول 12 ساعت, ساعت 10 + 4 = 2). و برای نوع automorphic فرم است که به نظر می رسد در Langlands مکاتبات شما می توانید محاسبه نامحدود لیست از اعداد مشابه کوانتومی سطح انرژی است.

اگر شما تنها شامل ساعت arithmetics که شماره نخست از ساعت Langlands حدس زده است که این دو توالی تعداد بازی در طرز حیرت انگیزی آرایه گسترده ای از شرایط. به عبارت دیگر با توجه به automorphic فرم آن سطح انرژی حاکم بر clock دنباله ای از برخی از معادله سیاله و بالعکس.

این اتصال است “عجیب و غریبتر از تله پاتی,” Emerton گفت. “چگونه این دو طرف با یکدیگر ارتباط برقرار … برای من به نظر می رسد باور نکردنی و شگفت انگیز, حتی اگر من در حال مطالعه آن را برای بیش از 20 سال است.”

در 1950s و 1960s, ریاضیدانان نمیفهمد آغاز این پل در یک جهت: چگونه برای رفتن از برخی automorphic forms به منحنی بیضوی با ضرایب که اعداد گویا (نسبت تعداد کل). سپس در 1990s Wiles با کمک از تیلور نمیفهمد جهت مخالف برای برخی خانواده منحنی بیضوی. نتیجه خود را به یک لحظه اثبات آخرین قضیه فرما از ریاضیدانان در حال حاضر نشان داده شده است که اگر فرما و آخرین قضیه کاذب بودند حداقل یکی از این منحنی بیضوی را مطابق automorphic فرم.

آخرین قضیه فرما بود و به دور از تنها کشف به ظهور از ساخت این پل. ریاضیدانان از آن استفاده کرده اند, به عنوان مثال برای اثبات ساتو-تیت حدس قدیمی دهه مشکل در مورد توزيع آماری از تعداد ساعت راه حل برای یک منحنی بیضی و همچنین به عنوان یک حدس در مورد سطح انرژی از automorphic forms که سرچشمه با افسانه ای در اوایل 20 قرن ریاضیدان Srinivasa Ramanujan.

پس از نیرنگ و تیلور یافته های خود را منتشر روشن شد که روش خود را هنوز هم تا به حال برخی از آب است. به زودی ریاضیدانان نمیفهمد چگونه به گسترش این روش به تمام منحنی بیضوی با ضرایب گویا. اخیرا ریاضیدانان نمیفهمد چگونه به پوشش ضرایب که شامل ساده اعداد گنگ مانند 3 + √2.

این مقالات در حال حاضر نوع اوج موفقیت.

چیزی که آنها نمی تواند انجام دهد اما گسترش Taylor-Wiles روش منحنی بیضوی ضرایب شامل اعداد مختلط مانند من (ریشه مربع از -1) یا 3 + i و یا √2من. و نه می تواند آنها رسیدگی معادلات سیاله با نماهای بسیار بالاتر از کسانی که در منحنی بیضوی. معادلات که در آن بالاترین توان در سمت راست است 4 به جای 3 همراه به صورت رایگان با تیلور-Wiles روش اما به محض این که توان افزایش به 5 روش دیگر کار می کند.

ریاضی دانان به تدریج متوجه شدم که برای این دو بعد طبیعی و الحاقات از Langlands پل آن را به سادگی یک ماده از پیدا کردن برخی از تنظیم کوچک به تیلور-Wiles روش. در عوض به نظر می رسید اساسی انسداد است.

آنها “بعدی نمونه شما می خواهم فکر می کنم از” Gee گفت. “اما شما گفت:” نه این چیزها ناامید کننده خارج از دسترس است.'”

مشکل این بود که تیلور-Wiles روش می یابد تطبیق automorphic فرم به صورت یک معادله سیاله توسط متوالی نزدیک آن با دیگر automorphic forms. اما در شرایطی که این معادله را شامل ضرایب اعداد مختلط و یا توان است 5 یا بالاتر automorphic forms تبدیل شدن به بسیار نادر است—بسیار نادر است که یک داده automorphic فرم معمولا هیچ نزدیکی automorphic forms برای استفاده از تقریب اهداف است.

در Wiles’ محیط automorphic فرم شما به دنبال “مثل یک سوزن در انبار کاه اما انبار کاه وجود دارد” Emerton گفت. “و آن را تقریبا به عنوان اگر آن را مانند یک انبار کاه آهن براده و شما با قرار دادن در این آهنربا پس از آن خطوط آنها را به نقطه را به خود سوزن.”

اما وقتی که می آید به پیچیده-تعداد ضرایب و یا بالاتر شارحان او گفت: “آن را مثل یک سوزن در یک خلاء.”

رفتن به ماه

بسیاری از امروز تعداد نظریه پردازان از سن آمد در دوران Wiles’ اثبات است. “این تنها قطعه ای از ریاضیات من تا به حال دیدم در صفحه یک روزنامه” به یاد می آورد Gee که 13 بود در آن زمان. “برای بسیاری از مردم آن چیزی است که به نظر می رسید هیجان انگیز است که آنها می خواستند به درک و سپس آنها به پایان رسید تا کار در این منطقه است که به دلیل.”

به طوری که در سال 2012 دو ریاضیدانان—فرانک Calegari از دانشگاه شیکاگو و دیوید Geraghty (در حال حاضر یک دانشمند محقق در Facebook)—پیشنهاد یک راه برای غلبه بر این انسداد به گسترش Taylor-Wiles روش ایده خود را ارسال امواج از هیجان را از طریق نسل جدید تعداد نظریه پردازان.

کار خود نشان داد که “این اساسی انسداد به رفتن هر بیشتر نیست واقعا انسداد در همه,” هی گفت. او گفت: به نظر می رسد محدودیت های Taylor-Wiles روش به شما گفتن “است که در واقع شما تنها سایه های واقعی تر و به طور کلی روش که [Calegari و Geraghty] معرفی شده است.”

در مواردی که انسداد محصولات تا automorphic forms زندگی بالاتر بعدی tilings از دو بعدی Escher-سبک tilings Wiles مورد بررسی قرار گرفت. در این بالاتر بعدی جهان automorphic forms نامناسبی نادر است. اما در سمت به علاوه بالاتر بعدی tilings اغلب بسیار غنی تر از ساختار دو بعدی tilings انجام دهد. Calegari و Geraghty این بینش بود که شیر به این ساختار برای جبران کمبود automorphic forms.

بیشتر به طور خاص, هر زمان که شما یک automorphic فرم شما می توانید با استفاده از آن “رنگ” از کاشی کاری به عنوان یک نوع ابزار اندازه گیری است که می تواند محاسبه دمای رنگ بر روی هر تکه از کاشی کاری شما را انتخاب کنید. در دو بعدی تنظیم automorphic forms اساسا تنها چنین اندازه گیری و ابزار در دسترس است. اما برای بالاتر بعدی tilings جدید ابزارهای اندازه گیری محصول به نام چرخش کلاس که اختصاص به هر یک از تکه های کاشی کاری یک دمای رنگ اما یک تعداد از یک ساعت حسابی. وجود دارد مقدار زیادی از این چرخش کلاس.

برای برخی از سیاله معادلات Calegari و Geraghty پیشنهاد ممکن است آن را ممکن است برای پیدا کردن تطبیق automorphic فرم نزدیک آن را با دیگر automorphic forms اما با چرخش کلاس. “بینش آنها تا به حال فوق العاده بود” Caraiani گفت.

Calegari و Geraghty ارائه طرح به صورت بسیار گسترده تر از پل معادلات سیاله به automorphic forms از یکی از نیرنگ و تیلور ساخته شده است. در عین حال ایده خود را به دور از کامل پل. برای آن به کار ریاضیدانان خواهد برای اولین بار به اثبات سه عمده conjectures. آن بود Calegari گفت: اگر به عنوان مقاله خود را با Geraghty توضیح داد که چگونه شما می توانید به ماه—ارائه شده کسی خواهد obligingly شلاق تا یک سفینه فضایی, موشک سوخت و spacesuits. سه conjectures “به طور کامل فراتر از آمریکا” Calegari گفت.

در خصوص Calegari و Geraghty روش مورد نیاز است که در حال حاضر وجود دارد یک پل در جهت دیگر از automorphic forms به معادلات سیاله طرف. و این پل را به حمل و نقل نه تنها automorphic forms بلکه چرخش کلاس. “من فکر می کنم بسیاری از مردم فکر می کردند این بود که نا امید کننده مشکل در هنگام Calegari و Geraghty اول مشخص شده برنامه های خود گفت:” تیلور که در حال حاضر در دانشگاه استنفورد.

در عین حال کمتر از یک سال پس از Calegari و Geraghty ارسال شده مقاله خود را آنلاین Peter Scholze—یک ریاضیدان در دانشگاه بن که در رفت و برنده مدال فیلدز ریاضیات’ بالاترین افتخار—شگفت زده تعداد نظریه پردازان بدانند چگونه از چرخش کلاس به معادلات سیاله طرف در مورد منحنی بیضوی ضرایب ساده اعداد مختلط مانند 3 + 2من یا 4 − √5من. “او انجام بسیاری از چیزهای هیجان انگیز اما این است که شاید هیجان انگیز ترین دستاورد” تیلور گفت.

Scholze ثابت کرده بود برای اولین بار از Calegari و Geraghty سه conjectures. و یک جفت پس از آن مقالات توسط Scholze و Caraiani آمد به اثبات دوم حدس که شامل نشان می دهد که Scholze این پل دارای خواص حق.

آن شروع به احساس می کنید که اگر برنامه در دسترس بنابراین در پاییز سال 2016 را امتحان کنید تا بیشتر پیشرفت Caraiani و تیلور سازمان چه Calegari به نام “راز” کارگاه آموزشی در موسسه مطالعات پیشرفته. “ما در زمان بیش از سخنرانی اتاق—هیچ کس دیگری اجازه داده شد در” Calegari گفت.

بعد از چند روز از تفسیری مذاکرات شرکت کنندگان در کارگاه شروع به درک چگونه به هر دو لهستانی دوم حدس و گریز سوم حدس. “شاید در عرض یک روز از واقع اظهار داشت: تمام مشکلات آنها حل شد” گفت: هی یکی دیگر از شرکت کنندگان.

شرکت کنندگان به صرف بقیه از این هفته با تشریح جنبه های مختلف اثبات و در طول دو سال آینده آنها نوشت تا یافته های خود را به 10-نویسنده مقاله—تقریبا بی سابقه از تعدادی از نویسندگان برای یک نظریه کاغذ. مقاله خود را اساسا ایجاد Langlands پل به صورت منحنی بیضوی با ضرایب کشیده شده از هر تعداد سیستم ساخته شده از اعداد گویا به علاوه ساده غیر منطقی و اعداد مختلط.

In the fall of 2016 Ana Caraiani and Richard Taylor convened a secret workshop at the Institute for Advanced Study in...
در پاییز 2016, آنا Caraiani و ریچارد تیلور تشکیل یک “راز” کارگاه آموزشی در موسسه مطالعات پیشرفته در سال 2016 است که به سرعت حل و فصل دو برجسته مشکلات و منجر به عمده 10-نویسنده مقاله.عکس: هاسدورف مرکز ریاضیات; میله Searcey

“این طرح در پیشبرد [کارگاه] بود فقط برای دیدن چگونه یکی می تواند به اثبات چیزهایی که” هی گفت. “من فکر نمی کنم کسی واقعا انتظار برای اثبات نتیجه است.”

گسترش پل

در ضمن موازی داستان اتفاق می افتند برای گسترش پل فراتر از منحنی بیضوی. Calegari و هی مشغول به کار بود با جورج باکسر (در حال حاضر در École Normale Supérieure در لیون فرانسه) برای مقابله با این مورد که در آن بالاترین توان در معادله سیاله است 5 یا 6 (به جای 3 یا 4 این موارد است که در حال حاضر شناخته شده است). اما سه ریاضیدانان گیر شد در یک بخش کلیدی از خود استدلال.

پس از آن بسیار آخر هفته پس از “راز” کارگاه وینسنت Pilloni École Normale Supérieure قرار دادن یک کاغذ است که نشان داد که چگونه به دور زدن این مانع است. “ما باید برای متوقف کردن آنچه که ما در حال حاضر انجام و کار با Pilloni!” سه تن دیگر از محققان بلافاصله گفت: هر یک از دیگر با توجه به Calegari.

در عرض چند هفته چهار نفر از ریاضیدانان به حال حل این مشکل بیش از حد هر چند آن را در زمان یک زن و شوهر از سال و نزدیک به 300 صفحه برای آنها را به طور کامل گوشت را ایده های خود را. خود کاغذ و 10 نویسنده مقاله هر دو نوشته شده آنلاین در اواخر ماه دسامبر سال 2018 در عرض چهار روز از هر یک از دیگر.

Soon after the secret workshop at the IAS Frank Calegari Toby Gee and Vincent Pilloni working with George Boxer found...
به زودی پس از راز کارگاه در IAS, فرانک Calegari (سمت چپ) توبی Gee (مرکز) و وینسنت Pilloni کار با جورج باکسر (در تصویر نیست) یک راه برای گسترش Langlands پل فراتر از منحنی بیضوی.حسن نیت ارائه میدهد از فرانک Calegari توبی هی و آرنولد Nipoli

“من فکر می کنم آنها بسیار بزرگ” Emerton گفت: از دو مقاله. کسانی که مقالات و قبل از بلوک های ساختمان در حال تمام “دولت از هنر” او گفت:.

در حالی که این دو مقاله در اصل ثابت کند که مرموز تله پاتی بین معادلات سیاله و automorphic forms حمل بیش از این تنظیمات جدید وجود دارد یک نکته: آنها کاملا نمی ساخت کامل پل ارتباطی بین دو طرف است. در عوض هر دو از مقالات ایجاد “بالقوه automorphy.” این به این معنی است که هر معادله سیاله است مطابق automorphic فرم, اما ما نمی دانیم که automorphic فرم زندگی در پچ از آن قاره است که ریاضیدانان انتظار می رود. اما پتانسیل automorphy است به اندازه کافی برای بسیاری از برنامه های کاربردی—مثلا ساتو-تیت حدس در مورد آمار از ساعت حل معادلات سیاله که 10 نویسنده مقاله موفق به اثبات در خیلی زمینه های گسترده تر از قبل.

و ریاضیدانان در حال حاضر شروع به کشف کردن چگونه به منظور بهبود در این بالقوه automorphy نتایج. در اکتبر مثلا سه ریاضیدانان—پاتریک آلن از دانشگاه Illinois Urbana-Champaign, Chandrashekhar Khare از دانشگاه کالیفرنیا در لس آنجلس و جک تورن از دانشگاه کمبریج—ثابت است که نسبت قابل توجهی از منحنی بیضوی مورد مطالعه در 10 نویسنده مقاله فراموش کرده اند پل که زمین دقیقا در جای مناسب.

پل ها با این سطح بالاتری از دقت و در نهایت ممکن است اجازه می دهد ریاضیدانان برای اثبات یک میزبان از قضایای جدید از جمله یک قرن تعمیم آخرین قضیه فرما. این حدس که معادله در قلب این قضیه همچنان به راه حل های حتی زمانی که x, y و z کشیده شده و نه فقط از تعداد کل اما از ترکیبی از اعداد و خیالی شماره من.

دو مقاله انجام Calegari-Geraghty برنامه فرم مهم اثبات اصل گفت: مایکل هریس از دانشگاه کلمبیا. آنها “یک تظاهرات که این روش دارای دامنه گسترده ای,” او گفت:.

در حالی که مقالات جدید اتصال بسیار گسترده تر مناطق از دو Langlands قاره ها نسبت به قبل از آنها هنوز هم ترک وسیع سرزمین های ناشناخته. در معادلات سیاله طرف هنوز هم وجود دارد تمام این معادلات با شارحان بالاتر از 6 و همچنین معادلات با بیش از دو متغیر است. در طرف دیگر automorphic forms که در زندگی پیچیده تر فضاهای متقارن نسبت به آنهایی که مورد مطالعه قرار گرفته است.

“این مقالات در حال حاضر نوع اوج دستاورد” Emerton گفت. اما “در برخی از نقطه آنها را فقط به عقب نگاه کرد و در را به عنوان یک گام دیگر در راه است.”

Langlands خود را هرگز در نظر گرفته چرخش زمانی که او فکر automorphic forms بنابراین یکی از چالش برای ریاضیدانان است به آمده تا با یک وحدت چشم انداز از این موضوعات مختلف. “پاکت نامه در حال گسترش است” تیلور گفت. “ما به برخی از درجه ای سمت چپ مسیر گذاشته شده توسط Langlands و ما کاملا نمی دانند که در آن ما در حال رفتن است.”

داستان اصلی تجدید چاپ با اجازه از کوانتوم, مجله, یک سرمقاله مستقل انتشار سایمونز بنیاد که ماموریت است که برای افزایش درک عمومی از علم توسط پوشش تحقیقات تحولات و روند ریاضیات و علوم فیزیکی و زندگی.

tinyurlis.gdv.gdv.htclck.ruulvis.netshrtco.de